Question

設數列的前項和為，對一切，點都在函數的圖象上
（1）求歸納數列的通項公式（不必證明）；
（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（），，，；，，，；，…..，
分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，
求的值；
（3）設為數列的前項積，若不等式對一切都成立，其中，求的取值范圍

Answer 1

（1);(2)2010;(3)

解析試題分析：(1)根據題意求處前幾項，利用歸納推理猜想通項公式；(2)觀察發現規律,可得：，是第25組中第4個括號內各數之和；(3)將恒成立問題轉化為求函數的最值進行求解.
規律總結：1.歸納推理是合情推理的一種，對數學定理、結論的求解起到非常重要的作用；此類題型的關鍵是通過已知的項，發現內在的規律與聯系，進而提出猜想；2.求序號較大的項時，往往要探索是否具有周期性；3.對于不等式的恒成立問題，主要思路是將所求參數進行分離，將其轉化為求函數的最值問題.
試題解析：（1）因為點在函數的圖象上，
故，所以．
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以．
由此猜想：
（2）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環記為一組．由于每一個循環含有4個括號， 故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，
所以 ．又=22，所以=2010.
（3）因為，故，
所以．
又，
故對一切都成立，就是
對一切都成立
設，則只需即可．
由于，
所以，故是單調遞減，于是．
令，
即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數的取值范圍是．
考點：1.歸納推理；2.等差數列；3.函數的單調性