Question

（本小題14分）
（I）已知數(shù)列滿足 ，滿足， ，求證：。．
（II) 已知數(shù)列滿足：a=1且。設(shè)mN，mn2，證明（a+）（m-n+1）

Answer 1

證明：
（I）記，則。 …… 2分
而。     ……………… 4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/89/e/odz9b.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以。     …………………  5分
從而有 。      ①
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3b/3/gwuee4.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，
即。從而有 。②    … 6分
由（1）和（2）即得  。綜合得到 。
左邊不等式的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) n=1時(shí)成立。               ………  7分 
（II）不妨設(shè)即與比較系數(shù)得c=1.即
又,故{}是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，
故                                            ………  10分
這一問(wèn)是數(shù)列、二項(xiàng)式定理及不等式證明的綜合問(wèn)題.綜合性較強(qiáng).
即證，當(dāng)m=n時(shí)顯然成立。易驗(yàn)證當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)，等號(hào)成立。
設(shè)下面先研究其單調(diào)性。當(dāng)>n時(shí)， ………  12分
即數(shù)列{}是遞減數(shù)列.因?yàn)閚2，故只須證即證。事實(shí)上，故上不等式成立。綜上，原不等式成立。 ………………  14分

解析