若函數
滿足：集合
中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.
（1）判斷下列函數：①
；②
中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（2）證明：對任意的正奇數
，函數
不是等比源函數；
（3）證明：任意的
，函數
都是等比源函數.
（1）①②都是等比源函數；（2）參考解析；（3）參考解析
解析試題分析：（1）函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.由等比源函數的定義可知.令x=2,4,16.即可得函數對應的三項為等比數列.令x=1,3,5即可得函數對應的三項成等比數列.所以①②都是等比源函數.
（2）對任意的正奇數，函數不是等比源函數，應用反正法，假設存在三項，根據奇偶性的性質即可得到假設不成立.從而得到證明.
（3）函數，對任意的是等比源函數.至少存在三個不同的數構成等比數列.通過證明存在三項.即命題成立.
試題解析：（1）①②都是等比源函數.4分
（2）證明：假設存在正整數
且
，使得
成等比數列，
，整理得
，
等式兩邊同除以
得
.
因為
，所以等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，
所以等式不可能成立，
所以假設不成立，說明對任意的正奇數，函數不是等比源函數10分
（3）因為任意的，都有
，
所以任意的，數列
都是以
為首項公差為
的等差數列.
由
，（其中
）可得
，整理得
，
令
，則
，
所以
，
所以任意的，數列中總存在三項
成等比數列.
所以任意的，函數都是等比源函數.18分
考點：1.新定義函數的概念.2.列舉遞推的思想.3.反正法思想的應用.
贏在課堂名師課時計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：填空題
（1）由“若
則
”類比“若
為三個向量則
”
（2）在數列
中，
猜想
（3）在平面內“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”
（4）已知
，則
.
上述四個推理中，得出的結論正確的是____ .（寫出所有正確結論的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設函數f(x)＝x－xlnx，數列{an}滿足0＜a1＜1，an＋1＝f(an)．求證：
(1)函數f(x)在區間(0，1)是增函數；
(2)an＜an＋1＜1.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知下列三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍．
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對一切正整數n都成立，猜想正整數a的最大值，并證明結論．
；
均為實數，且
，
，
，求證
；
，試用分析法證明：
.
，那么x2＋2x－1≠0.
;
;
，