Question

（本題滿分14分）
設函數，。
（1）若，過兩點和的中點作軸的垂線交曲線于點，求證：曲線在點處的切線過點；
（2）若，當時恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（2）

解：（1）由已知得，，
即，                     ………… 1分。
由，得，
曲線在點處的切線的斜率，
方程為，           ………… 4分
當時，，故，
所以點在切線上，即曲線在點處的切線過點。…… 6分
（2）當時，，，
由，即，解得，或。
 ，故                                            ………… 7分
當，即時，在上，單調遞增，
故在上單調遞增，所以當時，取得最大值

依題意得，解得，此時；………… 9分
當，即時，，在上，單調遞增；
在上，單調遞減，所以當時，取得極大值，也是最大值，最大值為，
依題意得，解得，此時。  ………… 13分
綜上所述得實數的取值范圍為。    ………… 14分