Question

已知，點.
（Ⅰ）若,求函數的單調遞增區間；
（Ⅱ）若函數的導函數滿足：當時，有恒成立，求函數的解析表達式；
（Ⅲ）若，函數在和處取得極值，且，證明： 與不可能垂直。

Answer 1

（1）的增區間和；（2）；（3）同解析。

(Ⅰ) ,
令得，解得
故的增區間和
（Ⅱ）(x)=
當x∈[-1，1]時，恒有|(x)|≤. 
故有≤(1)≤，≤(-1)≤，
及≤(0)≤,
即             
①+②，得≤≤， 又由③，得=，將上式代回①和②，得故.
（Ⅲ）假設⊥，即= 
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)="-1      " [st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1,
由s，t為(x)=0的兩根可得，s+t=(a+b), st=, (0<a<b)
從而有ab(a-b)²=9.
這樣
即 ≥2，這與<2矛盾.   
故與不可能垂直.