Question

設數列的前項和為，且滿足，，.
（1）猜想的通項公式，并加以證明；
（2）設，且，證明：.

Answer 1

（1），見解析；（2）見解析.

（1）利用公式化簡得出關于數列的遞推式子，再結合等差數列的概念求出通項公式；（2）利用分析法和均值不等式易證
解：（1）分別令，得，猜想得  （3分）
法一：數學歸納法按步給分
法二：由，得，兩式作差得，
即 （6分）
∵ ∴，即
∴是首項為1，公差為1的等差數列，∴（9分）
（2）要證，只要證
代入，即證即證 （13分）
∵，且∴即得證（15分）