Question

已知， ，，其中e是無理數且e="2.71828" ，.
（1）若，求的單調區間與極值；
（2）求證：在（1）的條件下，；
（3）是否存在實數a，使的最小值是？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，e），的極小值為;（2）證明見解析；（3）存在實數，使得在上的最小值為-1．理由見解析.

試題分析：（1）將代入后對函數求導，可得，令，可解得函數的單調區間，從而判斷出極值; (2) 構造函數，由知，故不等式成立；（3）假設存在實數a，使（）有最小值-1,,對進行討論，注意，當時，，無最小值；當時，，得；當時，，，得（舍去）,存在實數，使得在上的最小值為-1．
解：（1）當a=1時，，，         （1分）
令，得x=1.
當時，，此時單調遞減；                       （2分）
當時，，此時單調遞增．          （3分）
所以的單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，e），的極小值為        （4分）
（2）由（1）知在上的最小值為1．（5分）
令，，所以．（6分）
當時，，在上單調遞增，                   （7分）
所以.
故在（1）的條件下，．（8分）
（3）假設存在實數a，使（）有最小值-1．
因為，                                      （9分）
①當時，，在上單調遞增，此時無最小值； （10分）
②當時，當時，，故在（0，a）單調遞減；當時，，故在（a，e）單調遞增；                           （11分）
所以，得，滿足條件；          （12分）
③當時，因為，所以，故在上單調遞減.
，得（舍去）；                （13分）
綜上，存在實數，使得在上的最小值為-1．（14分）