Question

已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的極值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上有唯一的零點，若有，請求出的范圍；若沒有，請說明理由.

Answer 1

（1），無極大值；（2）見解析；（3）存在，或.

解析試題分析：（1）先找到函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進行作答，在條件下求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，判斷函數(shù)的極值；（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)，其導函數(shù)中含有參數(shù)，所以要進行分類討論，對分三種情況，，進行討論，分別求出每種情況下的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)果，找到函數(shù)的極值點，要滿足題中的要求，那么或，解不等式，在的范圍內(nèi)求解.
試題解析：（1） 函數(shù)的定義域是，       1分
當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無極大值；                    4分
（2）定義域，           5分
①當，即時，由，得的增區(qū)間為；由，得的減區(qū)間為；                6分
②當，即時，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；        7分
③當，即時，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；        8分
綜上，時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；
時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；       9分
(3)當時，由（2）知在的極小值為