Question

（本小題滿分14分）
已知函數，數列滿足：，N*．
（1）求數列的通項公式；
（2）令函數，數列滿足：，N*），
求證：對于一切的正整數，都滿足：．

Answer 1

（1）；（2）見解析。

本題考查數列的通項公式的求法和數列的前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理裂項求和法的合理運用．
（1）因為，則，得，即，∴數列是首項為2、公差為1的等差數列，得到通項公式。
（2），故，又，故，
則，即，利用裂項法得到和式。
（1），則，得，即，∴數列是首項為2、公差為1的等差數列，…………4分
∴，即…………6分
（2），故，又，故，
則，即．…………8分
∴
=． …………11分
又，………14分
故．…………14分