Question

已知函數f(x)＝＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)求證：當a>0時，對于任意x1，x2∈，總有g(x1)<f(x2)成立．

 

Answer 1

（1）當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(－1，1)，單調遞減區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調遞減區間為(－1，1)．（2）見解析

【解析】(1)函數f(x)的定義域為R，

f′(x)＝.

當a>0時，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

 

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘		↗		↘

當a<0時，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

 

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗		↘		↗

綜上所述，當a>0時，f(x)的單調遞增區間為(－1，1)，單調遞減區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)；當a<0時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調遞減區間為(－1，1)．

(2)證明：由(1)可知，當a>0時，f(x)在(0，1)上單調遞增，f(x)在(1，e]上單調遞減，且f(e)＝＋a>a＝f(0)．

所以x∈(0，e]時，f(x)>f(0)＝a.

因為g(x)＝aln x－x，所以g′(x)＝－1，

令g′(x)＝0，得x＝a.

①當0<a<e時，由g′(x)>0，得0<x<a；由g′(x)<0，得x>a，所以函數g(x)在(0，a)上單調遞增，在(a，e]上單調遞減，

所以g(x)max＝g(a)＝aln a－a.

因為a－(aln a－a)＝a(2－ln a)>a(2－ln e)＝a>0，

所以對于任意x1，x2∈(0，e]，總有g(x1)<f(x2)．

②當a≥e時，g′(x)≥0在(0，e]上恒成立，

所以函數g(x)在(0，e]上單調遞增，g(x)max＝g(e)＝a－e<a，

所以對于任意x1，x2∈(0，e]，仍有g(x1)<f(x2)．

綜上所述，對于任意x1，x2∈(0，e]，總有g(x1)<f(x2)．