Question

已知，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）若是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時，求函數(shù)上的最小值；
（3）求證：.

Answer 1

（1）實數(shù)的取值范圍是.
（2）當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
（3）見解析.

試題分析：（1）由題意知在上恒成立.
根據(jù)，知在上恒成立，即在上恒成立. 只需求時，的最大值.
（2）當(dāng)時，則.
根據(jù)，分別得到的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）. 因為，所以，
因此，要討論①當(dāng)，即時，②當(dāng)，即時，③當(dāng)時等三種情況下函數(shù)的最小值.
（3）由（2）可知，當(dāng)時，，從而
可得 ，
故利用



（1）由題意知在上恒成立.
又，則在上恒成立，
即在上恒成立. 而當(dāng)時，，所以，
于是實數(shù)的取值范圍是.                     4分
（2）當(dāng)時，則.
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，.
則的增區(qū)間為（2，＋∞），減區(qū)間為（－∞，0），（0，2）.   6分
因為，所以，
①當(dāng)，即時，在[]上單調(diào)遞減，
所以
②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，所以
③當(dāng)時，在[]上單調(diào)遞增，所以.
綜上，當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.              9分
（3）由（2）可知，當(dāng)時，，所以
可得                 11分
于是



                               14分