Question

(本小題滿分16分)
已知函數,其中.
（1）當時,求函數在處的切線方程;
（2）若函數在區間(1,2)上不是單調函數,試求的取值范圍;
（3）已知,如果存在,使得函數在處取得最小值,試求的最大值.

Answer 1

（1）（2）（3）

解析試題分析：(1)當時,,則,故………2分
又切點為,故所求切線方程為,即……………………4分
(2)由題意知,在區間(1,2)上有不重復的零點,
由,得,因為,所以……7分
令,則,故在區間(1,2)上是增函數,
所以其值域為,從而的取值范圍是……………………………9分
(3),
由題意知對恒成立,即對恒成立,即  ①對恒成立 ……………………………11分
當時,①式顯然成立;
當時,①式可化為    ②,
令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 ……………13分
即,其等價于   ③ ,
因為③在時有解,所以,解得,
從而的最大值為……………………………16分
考點：導數的幾何意義及函數零點，不等式與函數的轉化
點評：不等式恒成立問題常轉化為函數最值問題，不等式問題常轉化為函數問題求解