Question

（本題滿分12分）已知各項均為正數的數列的前項和滿足，且.（1）求的通項公式；（2）設數列滿足，并記為的前項和，比較與 的大小.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   

（Ⅰ）解：由，解得，由假設，因此  又由，
得，
即 不成立，舍去。
因此是公差為3，首項為2的等差數列，故{a_n}的通項為
（Ⅱ）證法一：由可解得 
從而 
因此   
令    ，則

因 
特別地. 從而，
即 
證法二：同證法一求得b_n及T_n。由二項式定理知. 當c>0時，不等式成立，
由此不等式有

證法三：同證法一求得b_n及T_n
令

從而 

證法四：同證法一求得b_n及T_n下面用數學歸納法證明：
當n=1時，
因此結論成立，
假設結論當n=k時成立，即
則當n=k+1時，

因
從而這就是說，當n=k+1時結論也成立
綜上成立.