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對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數.
（Ⅰ）定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足：.
求證：(1)是數列的母函數；
(2)求數列的前項和.
（Ⅱ）已知是數列的母函數，且.若數列的前項和為，求證：.

（Ⅰ）(1) 由題知，，是數列的母函數
(2) （Ⅱ），，從而是以為首項，為公比的等比數列
又故當時，有
，化簡得結論

解析試題分析：（Ⅰ）(1)由題知，且

.
是數列的母函數；
(2) 由(1) 知：是首項和公差均為的等差數列，故.
           ①
      ②
①-②得：.
.
（Ⅱ）由題知：，. .
從而是以為首項，為公比的等比數列.
.
又
故當時，有：

.
考點：信息題及數列求和
點評：求解本題首先要正確理解所給信息母函數的實質，將其性質代入相應的函數式中推理；第一問的數列求和用到了錯位相減法，這種方法是數列求和題常用到的方法，其適用于通項公式為關于n的一次函數式與指數式的乘積形式的數列

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，數列滿足。
（1）求；
（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法予以證明。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列中，，滿足。
(1)求證：數列為等差數列;
(2)求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知數列，滿足：．
（1）若，求數列的通項公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數列為等差數列；
② 若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項應滿足的條件．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數列的前項和為，，，，．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求數列的前項和.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知三次函數為奇函數，且在點的切線方程為
(1)求函數的表達式；
(2)已知數列的各項都是正數,且對于,都有,求數列的首項和通項公式；
(3)在(2)的條件下，若數列滿足,求數列的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數列的前項和為，且方程有一個根為，．
（1）證明：數列是等差數列；
（2）設方程的另一個根為，數列的前項和為，求的值；
（3）是否存在不同的正整數，使得，，成等比數列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知為等比數列，；為等差數列的前n項和，.
（1） 求和的通項公式；
（2） 設，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

等差數列中，
（I）求的通項公式；
（II）設，求數列的前n項和.

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