Question

函數(shù)，其中為實(shí)常數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性；

（2）不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，設(shè)，。是否存在實(shí)常數(shù)，既使又使對(duì)一切恒成立？若存在，試找出的一個(gè)值，并證明；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）存在，如等，證明見(jiàn)詳解．

【解析】

試題分析：（1）首先求導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來(lái)確定其最值；（3）假設(shè)存在，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明：及成立，然后可考慮綜合法與分析法進(jìn)行證明．

試題解析：（1）定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)，，在定義域上單增；

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減．

增區(qū)間：，減區(qū)間：．

綜上可知：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間：，減區(qū)間：．

（2）對(duì)任意恒成立

，令，

，在上單增，

，，故的取值范圍為．

（3）存在，如等．下面證明：

及成立．

①先證，注意，

這只要證（*）即可，

容易證明對(duì)恒成立(這里證略)，取即可得上式成立．

讓分別代入（*）式再相加即證：，

于是．

②再證，

法一：

，

只須證，構(gòu)造證明函數(shù)不等式：，

令，，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

又當(dāng)時(shí)，恒有，即恒成立．

，取，則有，

讓分別代入上式再相加即證：

，

即證．

法二：，

，

又故不等式成立．

（注意：此題也可用數(shù)學(xué)歸納法！）．

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性；2、分析法或綜合法；3、分類(lèi)討論的思想；4、數(shù)列求和．