Question

（本小題滿分12分）
已知函數，其中是自然對數的底數，．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，求的單調區間；
（3）若，函數的圖象與函數的圖象有3個不同的交點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）①若，.單調遞增區間為.
②若，所以的單調遞減區間為.
③若，單調遞增區間為.  
（3）

解析試題分析：解：（1）因為，
所以，       1分
所以曲線在點處的切線斜率為.     2分
又因為，
所以所求切線方程為，即．    3分
（2），
①若，當或時，；
當時，.
所以的單調遞減區間為，；
單調遞增區間為.                             5分
②若，，所以的單調遞減區間為. 6分
③若，當或時，；
當時，.
所以的單調遞減區間為，；
單調遞增區間為.                           8分
（3）由（2）知，在上單調遞減，在單調遞增，在上單調遞減，
所以在處取得極小值，在處取得極大值.    10分
由，得.
當或時，；當時，.
所以在上單調遞增，在單調遞減，在上單調遞增.
故在處取得極大值，在處取得極小值.   12分
因為函數與函數的圖象有3個不同的交點，
所以，即. 所以.12分
考點：導數的運用
點評：主要是考查了導數的符號與函數單調性的關系的運用，屬于中檔題。