Question

設，函數 
（1）當時,求曲線在處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調區間；
（3）當時,求函數的最小值

Answer 1

(1) ;(2) 在內單調遞減，內單調遞增；
（3） 

試題分析：(1)寫出函數的解析式，求導得斜率，求切點，進而得直線方程，注意解析式的取舍（時）；（2）函數為分段函數，分段判單調性，求出函數的單調區間；（3）分和兩種情況進行分析，在第二種情況下要對與區間進行比較，又分三種情況進行判斷單調性，求最小值
試題解析：（1）當時，，令得，
所以切點為，切線斜率為1，
所以曲線在處的切線方程為： 
（2）當時
當時，，
在內單調遞減，內單調遞增；
當時，恒成立，故在內單調遞增；
綜上，在內單調遞減，內單調遞增．
（3）①當時，， 
，恒成立． 在上增函數．
故當時，
② 當時，，
（）
ⅰ)當，即時，在時為正數，所以函數在上為增函數，
故當時，，且此時 
ⅱ)當，即時，在時為負數，在時為正數，
所以在上為減函數，在為增函數
故當時，，且此時 
ⅲ)當，即時，在時為負數，所以函數在上為減函數，
故當時， 
綜上所述，當時，函數在和時的最小值都是 
所以此時函數的最小值為；當時，函數在時的最小值為，而，
所以此時的最小值為