Question

一個等比數列的前n項之和是2ⁿ-b，那么它的前n項的各項平方之和為（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）
• C、4ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

分析：設該等比數列為{a_n}，前n項和為S_n=2ⁿ-b，求出數列的前3項，利用等比數列的性質可得關于b的方程，解出b可求得a_n，易判斷數列各項的平方仍構成等比數列，從而可求得答案．

解答：解：設該等比數列為{a_n}，前n項和為S_n=2ⁿ-b，
則a₁=2-b，a₂=S₂-S₁=2，a₃=S₃-S₂=4，
∴2²=（2-b）×4，解得b=1，
∴該數列的首項為1，公比為2，
∴an=2n-1，則an2=22n-2，
又

an+12

an2

=

22n

22n-2

=4（常數），
∴{an2}是首項為1，公比為4的等比數列，
∴原等比數列的前n項的各項平方之和為：1²+2²+4²+…+2^2n-2=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故選D．

點評：本題考查等比數列的前n項和、等比數列的通項公式，考查學生的運算求解能力，熟記相關通項公式、求和公式是解決問題的關鍵．