Question

（本小題滿分12分）設數列、、滿足：，（n=1，2，3，…），      證明：為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1，2，3，…）

Answer 1

見解析

必要性：設數列是公差為的等差數列，則：
==－=0，
∴（n=1，2，3，…）成立；
又=6（常數）（n=1，2，3，…）
∴數列為等差數列.
充分性：設數列是公差為的等差數列，且（n=1，2，3，…），
∵……①     ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③  從而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1，2，3，…），
由此，不妨設（n=1，2，3，…），則（常數）
故……⑥
從而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常數）（n=1，2，3，…），
∴數列為等差數列.
綜上所述：為等差數列的充分必要條件是為等差數列且（n=1，2，3，…）.