Question

（本小題滿分13分）
已知二次函數同時滿足：①不等式的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在，使得不等式成立．
設數列的前項和，
（1）求數列的通項公式；
（2）數列中，令，，求；
（3）設各項均不為零的數列中，所有滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數。令（為正整數），求數列的變號數．

Answer 1

（1） ；
（2）；
（3）數列共有個變號數，即變號數為。

解析試題分析：（1）∵的解集有且只有一個元素，∴，
當時，函數在上高考資源網遞增，故不存在，使得不等式成立----------------2分
當時，函數在上高考資源網遞減，故存在，使得不等式成立。
綜上高考資源網，得，，∴，
∴  ---------------4分
（2）∵     ∴ 


∴ --------------------8分
（3）解法一：由題設------------9分
∵時，，
∴時，數列遞增-------------------10分
∵，由，可知，即時，有且只有個變號數；
又∵，即，∴此處變號數有個．
綜上高考資源網得 數列共有個變號數，即變號數為-----------13分
解法二：由題設-----------(9分)
時，令；
又∵，∴時也有．
綜上高考資源網得：數列共有個變號數，即變號數為-----------13分
考點：本題主要考查函數的概念，等差數列、等比數列的的基礎知識，“錯位相消法”，簡單不等式的解法。
點評：中檔題，本題具有較強的綜合性，本解答從處理函數問題入手，確定得到a的值，從而求得了，進一步轉化成數列問題的研究。“錯位相消法”是高考常常考到數列求和方法。