Question

已知函數f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值為0，其中a>0.
（1）求a的值；
（2）若對任意的x∈[0，＋∞)，有f(x)≤kx²成立，求實數k的最小值．]

Answer 1

（1）a＝1.（2）

解析試題分析：(1)f(x)的定義域為(－a，＋∞)．
f ′(x)＝1－＝.
由f ′(x)＝0，得x＝1－a>－a.
當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－a,1－a)	1－a	(1－a，＋∞)
f ′(x)	－	0	＋
f(x)	??	極小值

因此，f(x)在x＝1－a處取得最小值，
故由題意f(1－a)＝1－a＝0，所以a＝1.
(2)當k≤0時，取x＝1，有f(1)＝1－ln2>0，
故k≤0不合題意．
當k>0時，令g(x)＝f(x)－kx²，
即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx².
g′(x)＝－2kx＝.
令g′ (x)＝0，得x₁＝0，x₂＝>－1.
①當k≥時，≤0，g′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在[0，＋∞)上單調遞減．從而對于任意的x∈[0，＋∞)，總有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx²在[0，＋∞)上恒成立．
故k≥符合題意．
②當0<k<時， >0，對于x∈(0，)，g′(x)>0，故g(x)在(0，)內單調遞增．因此當取x₀∈(0，)時，g(x₀)>g(0)＝0，即f(x₀)≤kx不成立．
故0<k<不合題意．
綜上，k的最小值為.
考點：導數的運用
點評：主要是考查了運用導數求解函數單調性，以及函數最值的運用，屬于中檔題。