Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線平行于軸．
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的極小值；
（3）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，（）
證明：．

Answer 1

（1）（2）（3）證明如下

解析試題分析：解：（1）依題意得，則
由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：
∴ 
（2）由（1）得 
∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7f/d/1nbpt2.png" style="vertical-align:middle;" />，令得或
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．故函數(shù)的極小值為
（3）證法一：依題意得，
要證，即證
因，即證 
令（），即證（）
令（）則
∴在（1，+）上單調(diào)遞減，
∴ 即，--------------①
令（）則
∴在（1，+）上單調(diào)遞增，
∴=0，即（）--------------②
綜①②得（），即．
【證法二：依題意得，
令則
由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又
即
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)常應(yīng)用于求曲線的切線方程、求函數(shù)的最值與單調(diào)區(qū)間、證明不等式和解不等式中參數(shù)的取值范圍等。