Question

在直角坐標系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數方程為 ．
（Ⅰ）已知在極坐標（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，），判斷點P與直線l的位置關系；
（Ⅱ）設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最值；
（Ⅲ）請問是否存在直線 ，∥l且與曲線C的交點A、B滿足；
若存在請求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請說明理由。

Answer 1

（I）點P在直線上.
（II）當時，d取得最小值，且最小值為
當時，d取得最大值，且最大值為3
（Ⅲ）滿足題意直線m有4條，方程為： 。

解析試題分析：（I）把極坐標系下的點化為直角坐標，得P（0，4）2分
因為點P的直角坐標（0，4）滿足直線的方程，所以點P在直線上.4分
（II）因為點Q在曲線C上，故可設點Q的坐標為，5分
從而點Q到直線的距離為
，    6分
由此得，當時，d取得最小值，且最小值為
當時，d取得最大值，且最大值為3         8分
（Ⅲ）設平行線m方程：x-y+n = 0                 9分
橢圓與直線方程聯立再由弦長公式得
設O到直線m的距離為d，則        10分
 
經驗證均滿足題意
所以滿足題意直線m有4條，方程為： 12分
考點：點的極坐標，橢圓的參數方程，直線與橢圓的位置關系，直線方程。
點評：中檔題，本題綜合性較強，涉及直線與橢圓的位置關系，通過建立方程組，應用韋達定理、弦長公式等，進一步表示出三角形面積，從而建立“變量”的方程，達到解題目的。思路比較明確。