Question

已知函數y=f（x）是R上的奇函數，當x≤0時，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

，
（1）判斷并證明y=f（x）在（-∞，0）上的單調性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞

1

3

的解集．

Answer 1

分析：（1）利用函數單調性的定義，設x₁＜x₂＜0，通過作差，變形，判號證明f（x₁）＜f（x₂），即可
（2）當x≤0時f（x）=

1

3x+ 1 3x

，運用均值定理，先求出當x≤0時函數f（x）的值域，再利用對稱性得y=f（x）的值域
（3）由（2）知，不等式f(x)＞

1

3

?

1

3

＜f(x)＜

1

2

，將f（x）中的3^x看成整體，轉化為一元二次方程求解，再解指數不等式即可得所求解集

解答：解：（1）設x₁＜x₂＜0，則3x1＜3x2，3x1+x2＜1
∵f(x1)-f(x2)=

3x1

9x1+1

-

3x2

9x2+1

=

3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2

(9x1+1)(9x2+1)

=

(3x1-3x2)(1-3x1+x2)

(9x1+1)(9x2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函數．   
（2）∵0＜

3x

9x+1

=

1

3x+ 1 3x

≤

1

2

，
∴當x≤0時，f(x)=

3x

9x+1

-

1

2

∈(-

1

2

，0]；             
∵當x＞0時，f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

∈(0，

1

2

)．       
綜上得 y=f（x）的值域為 (-

1

2

，

1

2

)．            
（3）∵f(x)∈(-

1

2

，

1

2

)，
又∵f(x)＞

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)，此時f(x)=

1

2

-

3x

9x+1

單調遞增，
∵f(1)=

1

5

＜

1

3

，∴f(x)∈(

1

3

，

1

2

)時，x＞1⇒3^x＞3．
令

1

2

-

3x

9x+1

＞

1

3

，
即

3x

9x+1

＜

1

6

⇒32x-6•3x+1＞0⇒3x＞3+2

2

⇒x＞log3(3+2

2

)，
∴不等式f(x)＞

1

3

的解集是(log3(3+2

2

)，+∞)．

點評：本題考查了函數奇偶性與單調性的定義及運用，利用函數的單調性和對稱性解不等式、求值域的方法，解題時要特別利用對稱性，提高解題速度