Question

已知函數y=f（x）在定義域R上為減函數，且對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，
（1）證明：函數y=f（x）是奇函數．
（2）求不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3的解集．

Answer 1

分析：（1）根據已知中對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，結合函數奇偶性的定義，即可得到結論；
（2）計算f（3）=3，結合函數y=f（x）在定義域R上為減函數，將不等式化為具體不等式，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵對任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
∴函數f（x）為奇函數；
（2）解：∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1
∴f（3）=3
∴不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3等價于不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞f（3）
∵函數y=f（x）在定義域R上為減函數，
∴log₂（x+2）+log₂x＜3
∴

x+2＞0 x＞0 x(x+2)＜8

，∴0＜x＜2
∴不等式的解集為（0，2）．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，考查函數單調性與奇偶性的結合，屬于中檔題．