設數列
的前
項和
滿足
,其中
.
⑴若
,求
及
;
⑵若
,求證:
,并給出等號成立的充要條件.
（1）
，
；（2）當且僅當
或
時等號成立.
解析試題分析：(1)已知 與 的關系式求出首項和通項，通常都是取特值和寫一個遞推式相減即可.(2)由（1）得到
，分析第1,2項可得后要證的問題等價于
本題是通過利用對稱項
的關系來證明的，該對稱項是通過對
的范圍的討論得到的. 通過累加后得到
，然后不等式的兩邊同時加上
即可得到答案.
試題解析：⑴
………①,
當
時代入①,得
,解得
;
由①得
,兩式相減得
(
),故
,故
為公比為2的等比數列,
故
(對也滿足);
⑵當
或
時,顯然
,等號成立.
設
,且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為: 
即證: 
當時,上面不等式的等號成立.
當
時,
與
,(
)同為負;
當
時, 與,()同為正;
因此當且
時,總有 ()()>0,即,().
上面不等式對
從1到
求和得,
;
由此得
;
綜上,當且時,有,當且僅當或時等號成立.
考點：1.數列的求和與通項的關系.2.數列中不等式的證明.3.數列的累加法的應用.4.分類的思想.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知等差數列
的首項
，公差
，且第
項、第
項、第
項分別是等比數列
的第項、第
項、第
項．
（1）求數列，的通項公式；
（2）若數列
對任意
，均有
成立.
①求證：
； ②求
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
前n項和
=
（
）, 數列
為等比數列，首項
=2，公比為q(q>0)且滿足
，
，
為等比數列.
（1）求數列，的通項公式；
（2）設
，記數列的前n項和為Tn,，求Tn。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
若數列
滿足
,則稱數列為“平方遞推數列”．已知數列
中，
，點
在函數
的圖象上，其中
為正整數．
（Ⅰ）證明數列
是“平方遞推數列”，且數列
為等比數列；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中“平方遞推數列”的前
項積為
，即
，求
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記
，求數列
的前項和
，并求使
的的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列{an}滿足
，
，
.
（1）求證：數列
為等比數列；
（2）是否存在互不相等的正整數
、
、
，使、、成等差數列，且
、
、
成等比數列？如果存在，求出所有符合條件的、、；如果不存在，請說明理由.
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的前n項和為
，已知
，
是
和
的等比中項．
為等差數列，且
.
項和
；
滿足
求數列
中，
（
）．
的值；
，使得數列
是一個等差數列？若存在，求
的通項公式；若不存在，請說明理由．
滿足
，且
.
，設數列
的前
項和為
，求證：
.