Question

（本小題滿分12分）
已知函數．
（Ⅰ）討論函數在定義域內的極值點的個數；
（Ⅱ）若函數在處取得極值，對,恒成立，
求實數的取值范圍；
（Ⅲ）當且時，試比較的大小．

Answer 1

（Ⅰ）當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點（Ⅱ）（Ⅲ）當時，，當時，.

解析試題分析：（Ⅰ）由已知得，
所以當時，在上恒成立，函數 在單調遞減，
∴在上沒有極值點；
當時，由得，得，
∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．
∴當時在上沒有極值點，
當時，在上有一個極值點．                               ……3分
（Ⅱ）∵函數在處取得極值，∴，
∴，                                        ……5分
令，可得在上遞減，在上遞增，
∴，即．                                 ……7分
（Ⅲ）由(Ⅱ)知在(0,e²)上單調減，
∴時，，
即.
當時，，∴， ∴，
當時，，∴, ∴.
……12分
考點：本小題主要考查利用導數判斷極值點的個數、利用導數解決恒成立問題和利用導數證明不等式等問題，考生學生的邏輯思維能力和運算求解能力.
點評：導數是研究函數性質的一個比較好的工具，給出函數可以利用導數考查函數的性質，恒成立問題可以轉化為最值問題來解決，如果最值不好求，可以構造新函數再次利用導數求解，一定要靈活運用導數，使導數的功能完全發揮出來.