Question

已知函數y=f（x）是對數函數，且它的圖象過點（4，2）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求f(1)，f(32)，f(

1

8

)的值；
（3）解不等式f（2x）＞f（-x+3）．

Answer 1

分析：（1）設f(x)=lo

g

x a

(a＞0，a≠1)，由圖象過點（4，2），求得a的值，可得函數f（x）的解析式．
（2）根據函數f（x）的解析式，利用對數的運算性質求得f（1）、f（32）、f（

1

8

）的值．
（3）由f（2x）＞f（-x+3）得：

2x ＞0 -x+3 ＞0 2x ＞-x+3

，由此求得不等式的解集．

解答：解：（1）設f(x)=lo

g

x a

(a＞0，a≠1)，由圖象過點（4，2），可得log_a4=2，即a²=4，解得 a=±2，
結合題意可得，只有a=2，
∴函數f（x）的解析式為 f(x)=lo

g

x 2

．
（2）由（1）得，f（1）=log₂1=0，f（32）=log₂32=5，f（

1

8

）=log2

1

8

=-3．
（3）由f（2x）＞f（-x+3）得：

2x ＞0 -x+3 ＞0 2x ＞-x+3

，解得1＜x＜3，
故此不等式的解集為{x|1＜x＜3}．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質，用待定系數法求函數的解析式，對數不等式的解法，屬于中檔題．