Question

已知函數(shù).
（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）．（2）. （3）. 

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)， ．        　　　　　　　　　　　    
，
曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．   2分
從而曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．             3分
（2）．                 4分
令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立.                5分
由題意＞0，的圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為，∴，
只需，即，
∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是.       7分
（3）∵在上是減函數(shù)，
∴時(shí)，； 時(shí)，，即， 8分
①當(dāng)＜0時(shí)，，其圖象為開口向下的拋物線，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，且，∴在內(nèi)是減函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d2/2/1f6on3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以＜0，＜0，
此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)．
故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意…10分
②當(dāng)0＜＜1時(shí)，由，
所以．
又由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，
∴＜，不合題意； 12分
③當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，，
又在上是減函數(shù)，
故只需