Question

已知函數y=f（x）=-x³+ax²+b…（a，b∈R）．
（Ⅰ）當a＞0時，若f（x）滿足：y_極小值=1，y_極大值=

31

27

，試求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，1]時，y=f（x）圖象上的任意一點處的切線斜率k滿足：|k|≤1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導函數的根，列出x，f′（x），f（x）d的變化的表格，根據極值的定義求出極值，列出方程求出解析式．
（Ⅱ）根據導數的幾何意義：函數在切點處的導數值是切線的斜率，列出不等式；分離參數，通過求函數的最值，求出不等式恒成立時的參數范圍．

解答：解：：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+2ax=0得x=0或x=

2

3

a．
a＞0時，x變化時f'（x），f（x）變化如下表：

所以f（0）=b=1，f(

2

3

a)=-

8

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a3+a•

4

9

a2+1=

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，
即a=1，b=1．故f（x）=-x³+x²+1；
（Ⅱ）由題設x∈[0，1]時，恒有|k|=|f′（x）|≤1，
即-1≤-3x²+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．
當x=0時，a∈R；
當x∈（0，1]時，由-3x²+2ax≥-1恒成立，
即2ax≥3x²-1，a≥

1

2

(3x-

1

x

)，
所以a≥1（函數

1

2

(3x-

1

x

)在（0，1]上為增函數）．
另一方面，由-3x²+2ax≤1恒成立，a≤

1

2

(3x+

1

x

)，
所以a≤

3

（當且僅當x=

3

3

時，取最值）．
綜上所述：1≤a≤

3

．

點評：本題考查利用導數求函數的極值、導數的幾何意義、通過分離參數求函數的最值求出不等式恒成立的參數范圍．