Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x∈（-∞，0）時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=5^0.5f（5^0.5），b=（log_π3）f（log_π3），c=（log₃

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）f（log₃

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），則a，b，c的大小關系是

b＜a＜c

．

Answer 1

分析：由已知式子f（x）+xf′（x），可以聯想到：（uv）′=u′v+uv′，從而可設h（x）=xf（x），
有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調性問題很容易解決．

解答：解：構造函數h（x）=xf（x），
由函數y=f（x）以及函數y=x是R上的奇函數可得h（x）=xf（x）是R上的偶函數，
又當x∈（-∞，0）時h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
所以函數h（x）在x∈（-∞，0）時的單調性為單調遞減函數；
所以h（x）在x∈（0，+∞）時的單調性為單調遞增函數．
又因為函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0，從而h（0）=0
因為log₃

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=-3，所以f（log₃

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）=f（-3）=-f（3），
由0＜log_π3＜1＜1＜5^0.5＜2
所以h（log_π3）＜h（5^0.5）＜h（3），即：b＜a＜c
故答案為：b＜a＜c．

點評：本題考查的考點與方法有：1）所有的基本函數的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構造函數的思想；3）導數的運算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對數函數的圖象；5）奇偶函數在對稱區間上的單調性：奇函數在對稱區間上的單調性相同；偶函數在對稱區間上的單調性相反；6）奇偶函數的性質：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號得正、異號得負）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．
本題結合已知構造出h（x）是正確解答的關鍵所在．