Question

已知函數y=f（x）的反函數．定義：若對給定的實數a（a≠0），函數y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a和性質”；若函數y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a積性質”．
（1）判斷函數g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3）設函數y=f（x）（x＞0）對任何a＞0，滿足“a積性質”．求y=f（x）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出 g^-1（x） 的解析式，換元可得g^-1（x+1）的解析式，將此解析式與g（x+1）的作對比，看是否滿足互為反函數．
（2）先求出f^-1（x） 的解析式，再求出 f^-1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f^-1（x+2）的解析式，用兩種方法得到的 f^-1（x+2）的解析式應該相同，解方程求得滿足條件的一次函數f（x）的解析式．
（3）設點（x，y）在y=f（ax）圖象上，則（y，x）在函數y=f^-1（ax）圖象上，可得 ay=f（x）=af（ax），
 ，即，即   滿足條件．
解答：解（1）函數g（x）=x²+1（x＞0）的反函數是，
∴，
而g（x+1）=（x+1）²+1（x＞-1），其反函數為，
故函數g（x）=x²+1（x＞0）不滿足“1和性質”．
（2）設函數f（x）=kx+b（x∈R）滿足“2和性質”，k≠0．
∴，∴，
而 f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函數 ，
由“2和性質”定義可知  ，對（x∈R）恒成立．
∴k=-1，b∈R，即所求一次函數f（x）=-x+b（b∈R）．
（3）設a＞0，x＞0，且點（x，y）在y=f（ax）圖象上，則（y，x）在函數y=f^-1（ax）圖象上，
故，可得 ay=f（x）=af（ax），
令  ax=x，則，∴，即．
綜上所述，，此時，其反函數是，
而，故y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數．
點評：本題考查反函數的求法，函數與反函數的圖象間的關系，體現了換元的思想，屬于中檔題．