Question

已知函數y=f（x），x∈D，y∈A；g（x）=x²-（4tanθ）x+1，
（1）當f（x）=sin（x+φ）為偶函數時，求φ的值．
（2）當f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）時，g（x）在A上是單調遞減函數，求θ的取值范圍．
（3）當f（x）=m•sin（ωx+φ₁）時，（其中m∈R且m≠0，ω＞0），函數f（x）的圖象關于點（，0）對稱，又關于直線x=π成軸對稱，試探討ω應該滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）=sin（x+φ）為偶函數，可得 2sinxcosφ=0，故cosφ=0，由此可得φ 的值．
（2）化簡 函數f（x）的解析式為 sin（2x+α）∈[-，]，A=[-，]．化簡g（x）=+1-28tan²θ，由題意可知：2tanθ≥，tanθ≥，由此可得θ的取值范圍．
（3）由條件得 （2n-1）=π-，再由n∈N^*，（2n-1）=，可得ω=2n-1．由f（x）的圖象關于點（，0）對稱求得ωx+φ₁ =kπ+，可得φ₁ =kπ+．再由f（x）的圖象關于直線x=π成軸對稱，所以 sin（πω+φ₁ ）=±1，可得 πφ+kπ+=k′π+，k′∈z，由此求得ω 滿足的條件．
解答：解：（1）因為函數f（x）=sin（x+φ）為偶函數，所以，sin（x+φ）=sin（-x+φ），
化簡為 2sinxcosφ=0，∴cosφ=0，所以φ=kπ+，k∈z…（4分）
（2）∵函數f（x）=sin（2x+）+sin（2x+）=sin2x+2cos2x=sin（2x+α）∈[-，]，
其中，sinα=，cosα=，所以 A=[-，]…（8分）
g（x）=x²-（4tanθ）x+1=+1-28tan²θ，
由題意可知：2tanθ≥，tanθ≥，∴kπ+arctan≤θ≤kπ+，k∈z，
即θ的取值范圍是[kπ+arctan，kπ+]，k∈z．（10分）
（3）由f（x）的圖象關于點（，0）對稱，又關于直線x=π成軸對稱，故（2n-1）=π-．…（12分）
再由n∈N^*，（2n-1）=，所以，ω=2n-1，①（14分）
由f（x）的圖象關于點（，0）對稱知道 sin（ω+φ₁）=0，∴ωx+φ₁ =kπ+，
∴（2n-1）+φ₁ =kπ，k∈z，φ₁ =kπ+．
又因為f（x）的圖象關于直線x=π成軸對稱，所以 sin（πω+φ₁ ）=±1，
∴πφ+kπ+=k′π+，k′∈z，所以，ω=k，k∈N^* ②．（16分）
由①②可知，ω=2n-1，n∈N^*． （18分）
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，復合三角函數的單調性，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，
屬于中檔題．