Question

已知函數y=f（x）的反函數。定義：若對給定的實數a（a≠0），函數y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a和性質”；若函數y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數，則稱y=f（x）滿足“a積性質”。
（1）判斷函數g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質”的一次函數；
（3）設函數y=f（x）（x＞0）對任何a＞0，滿足“a積性質”。求y=f（x）的表達式。

Answer 1

解：（1）函數的反函數是，
∴，
而，其反函數為，
故函數不滿足“1和性質”；
（2）設函數滿足“2和性質”，k≠0，
∴，
而，
由“2和性質”定義可知對x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，即所求一次函數為f（x）=-x+b（b∈R）。
（3）設a＞0，x₀＞0，且點在y=f（ax）圖像上，
則在函數圖象上，
故，可得，
令，
∴；
綜上所述，，，
其反函數就是，
而，
故y=f（ax）與互為反函數。