設函數
．
（1）求函數
的單調遞增區間；
（2）若關于
的方程
在區間
內恰有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍．
（1）函數
的單調遞增區間為
；（2）的取值范圍是
．
解析試題分析：（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為
的的取值區間；（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數的取值范圍．方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數的不等式組進行求解．本題將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，是解決問題的關鍵．
試題解析：（1）函數的定義域為
， 1分
∵
， 2分
∵
，則使
的的取值范圍為，
故函數的單調遞增區間為． 4分
（2）方法1：∵，
∴
． 6分
令
，
∵
，且，
由
．
∴
在區間
內單調遞減，在區間
內單調遞增， 9分
故
在區間內恰有兩個相異實根
12分
即
解得：
．
綜上所述，的取值范圍是． 14分
方法2：∵，
∴
． 6分
即
，
令
，
∵
，且，
由
．
∴
在區間內單調遞增，在區間內單調遞減． 9分
∵
，
，
，
又
，
故在區間內恰有兩個相異實根
． 12分
即．
綜上所述，的取值范圍是． 14分
考點：函數與方程的綜合運用；利用導數研究函數的單調性．
快捷英語周周練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2＋
(x≠0，a∈R)．
(1)判斷函數f(x)的奇偶性；
(2)若f(x)在區間[2，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.
(1)若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；
(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點，求b的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝aln(2x＋1)＋bx＋1.
(1)若函數y＝f(x)在x＝1處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線與直線2x＋y－3＝0平行，求a的值；
(2)若b＝
，試討論函數y＝f(x)的單調性．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝
ax3－
x2＋cx＋d(a，c，d∈R)滿足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
(1)求a，c，d的值；
(2)若h(x)＝
x2－bx＋
－，解不等式f′(x)＋h(x)<0.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex且f(0)＝1，f(1)＝0.
(1)若f(x)在區間[0,1]上單調遞減，求實數a的取值范圍；
(2)當a＝0時，是否存在實數m使不等式2f(x)＋4xex≥mx＋1≥－x2＋4x＋1對任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．
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．
存在單調遞減區間，求實數
的取值范圍；
,求證：當
時，
恒成立；
，證明：
.