Question

已知二次函數為常數）；.若直線l₁、l₂與函數f（x）的圖象以及l₁，y軸與函數f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示.
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求陰影面積S關于t的函數S（t）的解析式；
（Ⅲ）若問是否存在實數m，使得y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象有且只有兩個不同的交點？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）函數f（x）的解析式為 
（Ⅱ）
（Ⅲ）當m=7或時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點．

（I）由圖形 知：，
∴函數f（x）的解析式為…………………………4分
（Ⅱ）由
得
∵0≤t≤2
∴直線l₁與f（x）的圖象的交點坐標為（…………………………6分
由定積分的幾何意義知：


………………………………9分
（Ⅲ）令
因為x＞0，要使函數f（x）與函數g（x）有且僅有2個不同的交點，則函數
的圖象與x軸的正半軸有且只有兩個不同的交點

當x∈（0，1）時，是增函數；
當x∈（1，3）時，是減函數
當x∈（3，+∞）時，是增函數
當x=1或x=3時，
∴
………………………………12分
又因為當x→0時，
當
所以要使有且僅有兩個不同的正根，必須且只須

即
∴m=7或
∴當m=7或時，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有兩個不同交點．